Una introducción virtual a la geometría de tensores y sus aplicaciones:

Un tensor es una función multilineal en un producto de espacios vectoriales. El estudio de tensores es una extensión natural del álgebra lineal. Este curso es una introducción a la geometría de tensores y sus aplicaciones. Es un área de mucha actividad reciente y un puente importante entre matemáticas puras y aplicadas.

El texto principal del curso serán las notas del instructor. Estas se basarán en las siguientes fuentes de referencia (todos altamente recomendados y complementarios entre si):

  • [L1] Landsberg, J.M.: Tensors: Geometry and Applications, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 128, American Mathematical Society, 2011

  • [L2] Landsberg, J.M.: Geometry and Complexity Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, 2017

  • [H] Harris, J.: Algebraic Geometry, a first course, Graduate texts in mathematics, Springer Verlag, 1992

  • [CGO] Carlini E., Grieve N., Oeding L.: Four Lectures on Secant Varieties [ArXiv]

  • [B] Blekherman G.: Typical real ranks of binary forms [ArXiv]

  • [S1] Simons institute workshop: Tensors in Computer science and geometry [Videos]

  • [S1] Simons institute workshop: Symbolic and Numerical Methods for Tensors and Representation Theory [Videos]

    • La mayor parte de lo que aprenderán en este curso será el resultado de su propio trabajo en dos aspectos de igual de importancia: Reflexión posterior a cada clase sobre los resultados discutidos en ella y trabajo en los ejercicios asignados clase a clase y recopilados por los estudiantes (ver: Ejercicios). El trabajo en grupo esta altamente recomendado, especialmente en el contexto de virtualidad en el que nos encontramos.

    Los criterios de evaluación del curso son:

    • Dos examenes parciales a realizarse en las fechas especificadas abajo (30% y 20% resp) y un examen final (25%) asi como un trabajo final escrito (25%) a presentarse en grupos de dos o tres estudiantes, sobre un tema escogido por ustedes en el área de geometría de tensores y sus aplicaciones (para buscar inspiración considere ver algunos videos de [S1] y [S2] arriba). Las preguntas de los examenes serán variaciones menores de los ejercicios asignados en clase.

    • El trabajo final deberá hacerse en el estilo de los: what is....? de la Notices de la AMS [ver]

    • La nota final se decidira calculando el promedio aritmético de las cuatro notas de arriba y redondeándola al multiplo de 0.5 mas cercano. NO se recibiran trabajos tarde y NO se permitira la entrega de parciales en otras fechas salvo con incapacidad medica (por favor reserven desde hoy las fechas de parciales marcadas abajo).

    Metodología:

  • Como resultado de las restricciones de 2021-1 el curso se realizará de manera virtual mediante SicuaPlus en los horarios establecidos por registro.

  • Las actividades del curso estarán disponibles clase a clase en esta página web (ver al final).

      • PLAN DEL CURSO:

      Semana Tema Fecha Evaluaciones Contenido
      1.1 Enero 25 Qué es un tensor? Video y PDF
      1.2 Enero 27 Matrices como tensores Video y PDF
      2.1 Febrero 1 El tensor de multiplicación de matrices Video y PDF
      2.2 Febrero 3 Rango de tensores y acciones de grupo Video y PDF
      3.1 Febrero 8 introduccion a la Teoría de representaciones Video y PDF
      3.2 Febrero 10 Tensores como GL-reps, tensores simétricos Video y PDF
      4.1 Febrero 15 Tensores Simétricos y alternantes Video y PDF
      4.2 Febrero 17 Propiedades basicas del rango de tensores Video y PDF
      5.1,5.2,6.1 CLASES DE EJERCICIOS
      6.2 Marzo 3 Ideales y variedades en C^n Video y PDF
      7.1 Marzo 8 Conjuntos algebraicos con simetrías Video y PDF
      7.3 Marzo 10 Ejemplo: Matrices de rango 1 y representaciones. Video y PDF
      8.1 Marzo 17 Subconjuntos algebraicos del espacio proyectivo Video y PDF
      9.1 Abril 5 Ejemplos: Variedades de Veronese, parte 1 Video y PDF
      9.2 Abril 7 Ejemplos: Variedades de Veronese, parte 2 Video y PDF
      10.1 Abril 12 Ejemplos: Variedades de Segre Video y PDF
      10.2 Abril 14 Ejemplos: Repaso de Segre, Grassmannianas 1 Video y PDF
      11.1 Abril 19 Ejemplos: Grassmannianas 2 Video y PDF
      11.2 Abril 21 Teoría de la dimensión Video y PDF
      12.1 Abril 26 X-rank y X-border rank de variedades Video y PDF
      12.2 Abril 28 Dimension de variedades secantes, parte 1 Video y PDF
      13.1 Mayo 3 Dimension de variedades secantes, parte 2 Video y PDF
      13.2,14.1,14.2 CLASES DE EJERCICIOS
      15.1 Mayo 24 Variedades secantes de Veronese, Teorema de Alexander-Hirschowitz Video y PDF
      15.2 Mayo 26 Lema de apolaridad Video y PDF
      13 4/19-4/23 Lema de Apolaridad
      14 4/26-4/30 Waring rank de formas bi-variadas Parcial 2 -- Jueves
      15 5/3-5/7 Waring rank real de formas bi-variadas 2.
      16 5/10-5/14 V. Secantes de las variedades de Segre 1
      17 5/17-5/21 V. Secantes de las variedades de Segre 2
      18 5/24-5/28 V. Secantes de las variedades de Segre 3 Entrega del trabajo final y del examen final
      Actividades clase a clase Descripcion Deadline Duración estimada Enlaces