La teoría de representaciones es una manera general de entender y manipular las simetrías de un objeto. Más precisamente es el estudio de las maneras en las que un grupo puede actuar sobre un espacio vectorial. Es una rama central de las matemáticas puras y aplicadas.
Este curso es una introducción a las representaciones complejas de grupos finitos con especial énfasis en las representaciones del grupo de permutaciones S_n. Discutiremos los aspectos más fundamentales y clásicos de la teoría (reducibilidad completa, teoría de caracteres, inducción y restricción), algunas aplicaciones recientes de representaciones en probabilidad y machine learning (ver [D], [K] abajo) y, si el tiempo lo permite, el nuevo acercamiento a las representaciones de S_n que se sigue de ideas de Vershik-Okunkov (ver [VO] abajo) que puede extenderse de manera simultánea a todos los grupos de Coxeter.
El texto principal del curso serán las notas del instructor. Estas se basarán en los siguientes libros de referencia (todos altamente recomendados y complementarios entre si):La mayor parte de lo que aprenderán en este curso será el resultado de su propio trabajo en dos aspectos de igual de importancia: Reflexión posterior a cada clase sobre los resultados discutidos en ella y trabajo en los ejercicios asignados clase a clase y recopilados por los estudiantes (ver: Ejercicios). El trabajo en grupo esta altamente recomendado, especialmente en el contexto de virtualidad en el que nos encontramos.
Los criterios de evaluación del curso son:
PLAN DEL CURSO:
| Semana | Fecha (MM/DD) | Tema | Evaluaciones | |
| 1 | 8/10 - 8/14 | Qué es una representación? (representaciones complejas de grupos finitos). | ||
| 2 | 8/17-8/21 | Reducibilidad completa de representaciones complejas de grupos finitos | ||
| 3 | 8/24-8/28 | Teoría de caracteres 1 | ||
| 4 | 8/31-9/4 | Teoría de caracteres 2 / Transformada de Fourier | ||
| 5 | 9/7-9/11 | Inducción y restricción | ||
| 6 | 9/14-9/18 | Reciprocidad de Frobenius | ||
| 7 | 9/21-9/25 | Algunas aplicaciones a estadística [D] | Parcial 1 -- Jueves + Entrega 1 trabajo final (TEMA) | |
| 8 | 9/28-10/2 | Representaciones de S_n | ||
| 9 | 10/5-10/9 | SEMANA DE RECESO | ||
| 10 | 10/12-10/16 | Representaciones de S_n | ||
| 11 | 10/19-10/23 | Representaciones de S_n | ||
| 12 | 10/26-10/30 | La construcción de Weyl | ||
| 13 | 11/2-11/6 | La construcción de Weyl 2 | ||
| 14 | 11/9-11/13 | Algunas aplicaciones a problemas de machine learning (Kondor [K]) | Parcial 2 -- Jueves | |
| 15 | 11/16-11/20 | Representaciones de S_n (via [VO]) | ||
| 16 | 11/23-11/27 | Representaciones de S_n (via [VO]) | ||
| 17 | 11/30-12/4 | Representaciones de S_n (via [VO]) | ||
| 18 | 12/7-12/11 | Representaciones de S_n (via [VO]) | Entrega del trabajo final |
| Actividades clase a clase | Descripcion | Deadline | Duración estimada | Enlaces |
| 1.1 | Qué es una representación? | Pdf referencia , PDF Clase | ||
| 1.2 | Morfismos y primeros ejemplos | Video , PDF Clase | ||
| 1.3 | Subrepresentaciones y sumas directas (2 videos) | Video_1 , Video_2 , PDF Clase | ||
| 2.1 | De dónde vienen las representaciones? | Video , PDF Clase | ||
| 2.2 | Duales y productos tensoriales de representaciones | Video , PDF Clase | ||
| 3.1 | Homs y productos simétricos de representaciones | Video , PDF Clase | ||
| 3.2 | Productos simétricos y exteriores de representaciones | Video , PDF Clase | ||
| 4.1 | Reducibilidad completa de representaciones | Video , PDF Clase | ||
| 4.2 | Reducibilidad completa de representaciones parte 2 | Video , PDF Clase | ||
| 5.1 | Componentes Isotípicas | Video , PDF Clase | ||
| 5.2 | Componentes Isotípicas 2 | Video , PDF Clase | ||
| 6.1 | El algebra conmutante | Video , PDF Clase | ||
| 6.2 | Qué es el caracter de una representación? | Video , PDF Clase | ||
| 7.1 | Ortonormalidad de caracteres irreducibles | Video , PDF Clase | ||
| 7.2 | Caracteres de S_3 | Video , PDF Clase | ||
| 8.1 | Caracteres de S_4 | Video , PDF Clase | ||
| 8.2 | Funciones de clase y promedios ponderados. | Video , PDF Clase | ||
| 9.1 | Transformadas de Fourier 1 | Video , PDF Clase | ||
| 9.2 | Transformadas de Fourier 2, Caminatas aleatorias en grupos | Video , PDF Clase | ||
| 10.1 | (Interludio) Teoría de números y caracteres. | Video , PDF Clase | ||
| 10.2 | Ejemplos de caminatas aleatorias en grupos 1 | Video , PDF Clase | ||
| 11.1 | Ejemplos de caminatas aleatorias en grupos 2 | Video , PDF Clase | ||
| 11.2 | Representaciones inducidas 1 | Video , PDF Clase | ||
| 12.1 | Representaciones inducidas 2 | Video , PDF Clase | ||
| 12.2 | Representaciones inducidas 3 | Video , PDF Clase | ||
| 13.2 | Representaciones irreducibles de S_n, 1 | Video , PDF Clase | ||
| 14.1 | Representaciones irreducibles de S_n, 2 (módulo de Specht) | Video , PDF Clase | ||
| 14.2 | Representaciones irreducibles de S_n, 3 (orden de dominancia) | Video , PDF Clase | ||
| 15.1 | Representaciones irreducibles de S_n, 4 (teoremas fundamentales) | Video , PDF Clase | ||
| 15.1 | Representaciones irreducibles de S_n, 5 (una base para S^lambda) | Video , PDF Clase | ||
| 16.1 | Fórmula del caracter de Frobenius | Video , PDF Clase |